21通り
id:alea:20050529#1117295025 より、
以下、あーれあさんの思考（改行位置や箇条書きを変更しています）
ビリヤードの玉っていうことは、ナンバーは１〜９なんでしょうね。この条件で玉を取るときの玉の組み合わせは、１個の場合５通り、２個の場合５通り、３個の場合５通り、４個の場合５通り、５個の場合１通りで合計21通り。
だとすると１〜21までの数が全部作れる、というのは、すべての組み合わせで、ナンバーの合計が異なるということ。
１ができるためには、１の玉は必須。玉１個の場合の５通りが全て別の数字にならないといけないので、同じ玉を複数使うことはない。よって、２の玉も必須。
５つの玉のナンバーの合計は21になるはず。
すぐに思いつくことと言えば、
- ５つのうち、１，２は確定なのだから残り３つの合計は２１−３で１８である。
- ３つで１８となり、値域が３〜９であることから、６±３，６±３，余りの３つに分けることができそうだ。
- ３つの玉を A, B, C としたとき、3 <= A < B < C <= 9 である。
ここまでくれば、３つの数字の組み合わせは意外に少なそうだ。たとえば、３，４と玉を選択すると９を選択しても１８に満たないため、Ａ＝３であるならＢは６か７である。
同様に考えると、とりうる組み合わせは
- ３，６，９ …… (a)
- ３，７，８ …… (b)
- ４，５，９ …… (c)
- ４，６，８ …… (d)
- ５，６，７ …… (e)
となる。しかし、(e) なんて、１，２，５，６，７を組み合わせて４（１と２がある時点で３を作成できない組み合わせはない）を作成することができないことが一目でわかるので排除だ。
次に簡単に判別できそうなのは１の使い方について。同時に取れるのは隣り合う玉だけなので (c) および (d) の場合は、１と２は隣り合っていなければならず、*1(a) および (b) の場合は、１と２は隣り合ってはならない。*2特に簡単にパターンを固定していけそうなのは前者の隣り合うことが必須のパターン。
１と２が隣り合うということは、２個づつの組み合わせにおいて１が登場できるのは残り１回だけということになる。とりあえず、組み合わせパターンを考える前に確実に発生する「１個を取り出した場合」「４個を取り出した場合」「５個を取り出した場合」をリストアップしておこう。
| (a) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (b) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
| (c) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
| (d) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
昼休み10分ではココまで
頭の体操的に簡単なメモだけで考えるとこんな感じだった…。
